Anisa Jatus Anafauziah

10305144017

www.Anisa-jatus.anafauziah.blogspot.com

Mereka Yang Hebat Sebelum Kita

Buku Men of Mathematics karya E.T BELL berisi seluk beluk kehidupan beberapa matematikawan dunia. Misalnya, buku ini menceritakan kapan dan dimana isac Newton lahir, bagaimana keadaan keluarga Newton, bagaimana riwayat pendidikan Newton, Newton mendalami bidang apa dalam matematika dan sebagainya. Berikut beberapa hal yang diceritakan buku tersebut.

Para matematikawan dahulu memang sangat hebat, mereka mempunyai pemikiran yang modern walaupun mereka sedang hidup di zaman yang bias dibilang kuno. Salah satu matematikawan hebat pada zaman kuno adalah Archimedes (287-212 B.C.). Selain Archimedes ada Zeno,Euclid, Eudoxus,Cantor dan Brouwer.

Rene Descartes adalah matematikawan yang lahir di Prancis 31 Maret 1596. Descrates adallah anak ketiga dan anak terakhir dari istri pertama ayahnya. Descartes adalah seorang yang religious dan pemberani. Piere de Fermat adalah matematikawan hebat abad ke-tujuhbelas. Fermat (1601-1665). Fermat banyak menemukan temuan-temuan matematika seperti bilangan prima, kalkulus turunan dan yang paling terkenal adalah teorema Fermat.

Manusia adalah makhluk yang tak luput dari kesalahan. Begitu juga Blaise Pascal, walaupun dia seseorang yang hebat dalam matematika, dia juga pernah melakukan hal yang tidak baik, seperti mabuk-mabukan. Pada  umur tujuhbelas tahun Pascal adalah ahli ilmu ukur. Salah satu hal terkenal dari paskal adalah segitiga paskal.

Newton menganggap bahwa dirinya hanya seorang anak kecil yang menemukan pasir dan karang yang lebih cantik dari biasanya padahal ada hal besar diluar sana yang belum dia temukan .namun menurut generasi penerusnya bahwa newton adalah orang jenius yang berbeda dari orangg kebanyakan. Isac Newton lahir pada hari natal 1642 dari keuarga petani. Newton lahir premature, sehingga saat dia lahir keadaanya sangat lemah.

Pendidikan awal Newton berawal dari sekolah desa disekitar desa tempat tinggalnya. Lalu menurut pada saran pamannya dia masuk ke sekolah tata bahasa Grantham. Lalu karna dia paman dan kepala sekolah mengetahui kehebatan Newton, maka dia dimasukan ke Cambridge. Newton menemukan beberapa teorema dalam ilmu matematika. Salahsatunya adalah Teorema fundamental kalkulus , newton mengatakan bahwa terdapat hubungan atau ‘kebalikan’ antara kalkulus integral dan kalkulus diferensial. 

Seorang matematikawan, Leibniz (1646-1716), adalah seorang pedagang hebat. Dia selalu beroptimis untuk menjual habis dagangannya. Hal inilah yang membuat dirinya pantang menyerah, tak terkecuali saat mendalami matematika. Newton bersama Leibniz mendalami bidang kalkulus.

            Mungkin kehebatan yang dimiliki seseorang berasal dari unsure genetic yang mereka miliki (keturunan). Hal ini terbukti pada kedelapan matematikawan dari tiga generasi berbeda. Ternyata mereka berdelapan memiliki hubungan kekerabatan. Mereka adalah keluarga Bernoullis, dan mereka sama-sama berkecimpung dibidang kalkulus.

Gauss lahir di Brunswick, Jerma 1777. Gauss lahir ditengah keluarga miskin. Kakek Gauss (dari ayahnya) bekerja sebagai tukang kebun sedangkan kakek dari bu bekerja sebagai perancah batu. Paman Gauss (dari ibunya) adalah orang yang cerdas, Friedrich, dia memahami kehebatan otak Gauss. Dia mengajarkan Gauss logika. Dengan cepat Gauss dapat menangkap apa yang pamannya ajarkan. Berbeda dengan Archimedes atau Newton, Gauss menonjol sejak muda usia.

Umur 7 tahun, Gauss dikirim ke sekolah lokal, setelah memasuki pelajaran aritmatika, bakatnya mulai muncul.  Dengan cepat Gauss menguasai teorema Binomial. Gauss adalah orang yang menemukan tentang modulo. Pada usia dua belas tahun, Gauss merasakan keanehan dalam konsep geometri Euclid. Pada usia 16 tahun ia mendpatkan gambaran tentang geometri yang lain dari geometri Euclid. Salah seorang teman baiknya di universitas adalah Wolfgang Bolyai, bangsawan Hongaria yang kelak anak lakinya [Janos Bolyai] menemukan geometri non-Euclidian.

Selain nama nama matematikawan diatas buku man of mathematics ini juga menceritakan kehidupan dan penemuan matematikawan lain. Seperti, Euler, Lagrange, Laplace, Monge, Poncelet, Cauchy, Lobatchewsky ,Abel, Jacobi, Hamilton dan seterusnya. Dari buku ini dapat diambil kesimpulan, bahwa para matematikawan memiliki latar belakang keluarga pendidikan dan pekerjaan yang berbeda-beda tetapi mereka mempunyai satu persamaan yaitu sama-sama pekerja keras dan tak pantang menyerah.

Matematika punya rahasia

Matematika bukan sekedar mata pelajaran yang ada di sekolah. Matematika memiliki kekuatan tersendiri yang tak semua orang dapat memahaminya. Perlu proses (pembelajaran) seseorang megetahui kekuatan matematika. Berikut beberapa rahasia dan kekuatan yang dimiliki matematika.

Sekilas penemuan bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat >1 yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d’Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Tulang Ishango memiliki 3 baris takik. Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik, yang merupakan bilanganbilangan prima antara 10 hingga 20.

Bukti permulaan sejarah bilangan prima adalah sebuah catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani kuno. Euclid’s Elements (300 BC) berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan prima, termasuk ketakberhinggan bilangan prima dan teorema fundamental aritmetik. Euclid juga memperlihatkan bagaimana cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number) dari sebuah bilangan prima Mersenne yang ditemukan kemudian.

Dalam buku IX Elements, beliau memberikan bukti tentang ketakberhinggaan banyaknya bilangan-bilangan prima dengan menggunakan metode kontradiksi. Selain itu, Euclid juga memberikan sebuah bukti Teorema Fundamental Aritmetika : “Setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima dalam sebuah bentuk dasar yang unik”. Kemudian dikenal dengan nama Eratosthenes (± 230 SM) dengan `Eratosthenes sieve` atau saringan Eratosthenes,. Pertama-tama ia memperkenalkan metode untuk mendapatkan seluruh bilangan prima yang terbatas hingga suatu bilangan bulat positif n. Dari saringan itu akan didapat bilangan-bilangan prima yang kurang dari n, bahkan dengan saringan tersebut diturunkan suatu konjektur dalam bentuk formula yang dapat dipergunakan untuk memprediksi banyaknya bilangan prima kurang dari suatu bilangan n, yang dinyatakan dengan √n.

Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan kembali setelah berabad-abad berhenti. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat memulainya dengan membuat Teorema Kecil Fermat (Fermat’s Little Theorem) yang nantinya akan dibuktikan oleh Leibniz dan Euler. Kasus khusus dari teorema ini mungkin telah diketahui oleh bangsa Cina sebelumnya, yaitu seperti yang ditulis sekitar 2000 tahun sebelumnya dalam suatu hipotesis yang dinamakan Chinese Hypothesis bahwa sebuah bilangan bulat positif n adalah prima jika dan hanya jika bilangan 2n – 2 habis dibagi n. Namun sayangnya pada sebagian contoh yang lainnya terdapat kekeliruan, namun belum ada bukti yang pasti mengenai hal ini. Lama setelah itu, Euler menemukan “lubang”pada teorema ini.

Sebagai pengganti, seorang Prancis, Marin Mersenne, dengan membuat suatu pernyataan pada kata pengantar dalam karyanya Cogitata Phisyca-Mathematica (1644) bahwa bilangan-bilangan yang didapat dari 2n – 1 adalah prima untuk n = 2, 3, 5, 7, 17, 19, 31, 67, 127 dan 257 dan komposit untuk semua bilangan bulat positif lainnyayang akhirnya namanya diabadikan menjadi nama bilangan ini, yaitu bilangan prima Mersenne (Mersenne prime). Cara penentuan inipun belum sempurna karena terdapat beberapa prima semu.

Sekilas penemuan teori peluang

Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565,  Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu:

Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.

Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.

Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:

Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh  mata dadu yang muncul keduanya angka 6.

Ø Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat  mata dadu 1 sebanyak tiga kali.

Ø Probleme des partis (Problem of Point)

Dua pemain judi P1 dan P2 sepakat untuk bermain “fair games” sampai salah satu dari mereka menang dengan nilai tertentu dari N kali permainan. Permainannya tiba-tiba dihentikan. P1 menang N1 kali permainan dan P2 menang N2 permainan. Bagaimana seharusnya membagi taruhannya?

Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya, a

Ø Dua orang melempar sebuah mata uang logam secara bergantian, setiap muncul muka orang pertama akan memperoleh 1 point, bila yang muncul adalah belakang maka pemain kedua yang mendapat 1 point. Jika orang pertama sudah mendapat 100 point maka orang tersebut akan mendapat uang $1000. Bila pemain pertama mempunyai 100-m point,dan pemain kedua mempunyai 100- n point , berapa peluang pemain pertama akan menang.

Perkalian 2 bilangn negatif menghasilkan bilangan positif

Sewaktu masih duduk di bangku SD ataupun di SMP, kita diajarkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Secara intuisi kita dengan mudah menerima bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan yang negatif juga. Hal ini bisa dengan mudah kita jelaskan dengan contoh sebagai berikut :
5 x -4 = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = -20.
Tetapi perkalian dua bilangan negatif yang menghasilkan bilangan positif sangatlah tidak intuitif buat kita. Berikut pembuktian bahwa perkalian dua bilangan negative menghasiilkan bilangan positif.

·         Andaikan a suatu bilangan, maka negative dari a, ditulis –a, kalau dijumlahkan dengan a hasilnya akan 0. Bukti bahwa a+(-a)=0: *kita operasikan ruas kiri

a+(-1)a=0

(1)a+(-1)a=0

(1-1)a=0

0a=0

Terbukti, atau dengan kata lain –a adalah invers penjumlahan dari a.

·         Andaikan b bilangan positif, maka –b adalah negative dari b (pembuktian seperti a).

·         Maka akan dibuktikan bahwa –a*-b adalah bilangan positif atau

-a*-b= a*b (kita operasikan ruas kiri)

-a*-b= a*b

(-1) a*(-1) b= a*b

(-1)*(-1)*a*b= a*b ,sifat distributive

(1)*a*b= a*b

a*b= a*b

Jadi terbukti bahwa perkalian dua bilangan negative akan menghasilkan bilangan positif.

Dimensi Ruang Dan Waktu

Anisa Jatus Anfauziah

10305144017

www.anisa-jatus-anafauziah.blogspot.com

  

Sejarah adalah korespondensi antara dimensi ruang dan waktu. Maksudnya, sejarah suatu daerah dengan daerah lain pada waktu yang bersamaan itu berbeda. Dan sejarah suatu daerah dari waktu-kewaktu juga berbeda.

Salah satu media untuk belajar sejarah adalah benda / produk yang tercipta pada suatu dimensi waktu tertentu.  Salah satu media yang paling sering digunakan untuk mempelajari sejarah adalah artefak. Saat para ilmuan menemukan suatu artefak, mereka meneliti berapa kira-kira umur artefak tersebut, apakah fungsi artefak tersebut, bagaimanakah system kerja dari artefak tersebut dan sebagainya.

Pernahkah kita cermati bahwa artefak-artefak yang ditemukan tersebut tidak selalu sama. Artefak satu dengan yang lainnya mungkin memiliki bentuk yang berbeda. Apakah bentuk artefak yang berbeda ini hanya dikerenakan artefak tersebut dibuat pada tahun yang berbeda, ataukah ada hal lain yang membedakan mereka. Salah satu yang membuat bentuk artefak tersebut berbeda adalah fungsi dari artefak tersebut.

Produk hasil sejarah berasal dari suatu system yang dipikirkan dan direalisasikan oleh makhluk yang hidup dimasa itu. Metode paling sederhana yang digunakan oleh semua makhluk adalah pikiran kita masing-masing. Karena tuntutan hidup, setiap makhluk berusaha mengembangkan metode mereka untuk menciptakan suatu produk yang dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan hidup mereka. Oleh karena itu, setiap metode dari tahun ketahun berubah menjadi lebih rumit guna menghasilkan alat yang canggih.

Kini tugas kita yang hidup di era pos modern adalah memahami temuan / artefak zaman dahulu agar bermanfaat untuk zaman sekarang dan zaman yang akan dating. Selain itu kita juga harus menghargai temuan dan sejarah yang ada di dunia ini, karena tanpa adanya sejarah tidak ada kita yang hidup di zaman sekarang dan tak ada yang hidup dimasa depan.

Sepenggal Sejarah dalam Ketakterhinggaan Sejarah Matematika (sejarah itu ada dipikiran kita)

Anisa Jatus Anafauziah

10305144017

www.anisa-jatus-anafauziah.blogspot.com

Matematika bukan sekedar pelajaran sekolah . Kita telah mempelajari matematika sejak dini hingga saat ini. Kita mempelajari matematika tidak hanya saat kita belajar di dalam kelas, tetapi juga saat kita mengimplikasikan setiap rumus, dan teoremannya dalam kehidupan sehari-hari. Secara tidak langsung kita dapat  mengatakan bahwa matematika bukan sekedar ilmu yang kita pelajari untuk mendapat nilai dan lulus sekolah , melainkan ilmu yang bermanfaat dalam kehidupan nyata.

Selain kita dapat menggunakan teorema dan rumus matematika untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya matematika mempunyai manfaat yang lain dalam kehidupan kita sendiri.  Saat menyelesaikan persoalan matematika secara tidak langsung kita dilatih untuk teliti, sabar, sistematis, disiplin dan jujur. Saat kita terus berlatih mengerjakan soal-soal tersebut tanpa kita sadari nilai-nilai luhur tersebut terbentuk dalam jiwa kita.

Setelah sekian lama kita mempelajari matematika tak pantas jika kita tidak mempelajari sejarah matematika. Mempelajari sejarah matematika bukan sekedar mempelajari siapa penemu rumus ini, bagaimana si A menemukan rumus, apa metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah B.

Berbicara mengenai sejarah matematika sama halnya berbicara apa yang telah kita lalui bersama matematika. Sejarah matematika adalah apa yang ada dipikiran kita masing-masing. Apa yang kita pahami, apa yang dapat terapakan dalam menyelasaikan massalah kitta selama ini, apa saja nilai-nilai luhur yang terbentuk setelah kita sering menyelesaikan persoalan matematika, itu semua adalah sejarah matematika dalam kehidupan kita.

Walaupun telah lama waktu yang  kita habiskan untuk mempelajari matematika. Dan telah cukup banyak yang kita ketahui tentang matematika. Tetapi yang telah kita ketahui tersebut hanyalah sebagian kecil dari ketakterhinggaan matematika. Oleh karena itu, belum terlalu banyak juga sejarah yang kita ketahui tentang sejarah matematika. Karena sebenarnya sejarah matematika adalah segala sesuatu yang kamu ketahui mengenai matematika di dalam pikiranmu sendiri. Jadi sejarah yang kita miliki sekarang adalah sepenggal dari ketakterhinggaan sejarah matematika. 

Asal Mula Teori Peluang Anisa Jatus Anafauziah 10305144017 Matswa 10

Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.

Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565,  Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability.

Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:

Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh  mata dadu yang muncul keduanya angka 6.

Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya,

Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:

1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano

2. Permutasi dan Kombinasi

3. Distribusi Binomial dan Multinomial

4. Teori Peluang

5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar)

Jaques (Jacob) Bernoulli adalah orang yang pertama mengenalkan hukum bilangan besar (LLN). Hukum bilangan besar (LLN) adalah teorema pada peluang yang menggambarkan stabilitas yang lama dari suatu variable random. Jika kita diberikan suatu sample random dari variable random yang identik dan independent (iid) dengan mean dan variannya finite, maka rata-rata sample akan mendekati rata-rata populasi. Misalnya ketika kita melempar mata uang logam, maka frekuensi munculnya angka atau gambar akan mendekati 50 %, perbedaan frekuensi munculnya angka atau gambar tidak besar, contohnya kita akan mendapat munculnya angka sebanyak 520 kali dalam 1000 lemparan, dan 5096 kali dalam 10000 kali lemparan.

Kemudian pada tahun 1711, Abraham de Moivre yang lahir di French Hugesenot pada tanggal 26 Mei 1667, dan wafat di London 27 November 1754 , menerbitkan buku yang berjudul Doctrine of Chances, buku ini memuat mengenai teori dari permutasi dan kombinasi yang berpangkal dari probabilitas, contohnya:

Diketahui dari huruf-huruf a,b,c,d,e,f diambil dua huruf, maka peluang terambilnya huruf pertama adalah 1/6, peluang terambilnya huruf kedua adalah 1/5. Jadi peluang terambilnya dua huruf tersebut adalah (1/6)(1/5) = 1/30.